Phương trình 2cos^2x = 1 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn

Đề bài: Phương trình $2{\cos }^{2}x=1$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[-2\text{π;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2π}\right]$

Trả lời

Hướng dẫn giải: 

Ta có:

$2{\cos }^{2}x=1\iff 2{\cos }^{2}x-1=0\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{\text{π}}{\text{2}}+k\text{π}\iff x=\frac{\text{π}}{4}+\frac{k\text{π}}{2};k\in {\rm Z}$

Vì $x\in \left[-2\text{π;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2π}\right]$  nên ta có: $-2\text{π}\le \frac{\text{π}}{4}+\frac{k\text{π}}{2}\le 2\text{π}\iff \frac{-9}{2}\le k\le \frac{7}{2}.$

Mặt khác k là số nguyên nên k sẽ nhận các giá trị: $-4;-3;-2;-1;0;1;2;3.$

Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm trên đoạn $\left[-2\text{π;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2π}\right].$