Một gương hypebol (được sử dụng trong một số kính thiên văn) có tính chất là một tia sáng hướng vào tiêu

Một gương hypebol (được sử dụng trong một số kính thiên văn) có tính chất là một tia sáng hướng vào tiêu điểm sẽ bị phản xạ sang tiêu điểm khác. Gương trong hình vẽ có phương trình $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$. Điểm nào trên gương sẽ nhận được tia sáng đi qua điểm (0; 10) và bị phản xạ sang tiêu điểm còn lại? (tham khảo hình vẽ)

C. M(– 32,25; 42,25);

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi $\left(H\right):\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

Phương trình của gương (H) có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với a = 6, b = 8;

Suy ra $c=\sqrt{a^2+b^2}=10$.

Giả sử điểm cần tìm là M ∈ (H).

Gọi đường đi của ánh sáng qua điểm (0; 10) và M là d, do tia sáng sau khi phản xạ bởi gương sẽ đi qua tiêu điểm F₁(–10; 0), suy ra d nhằm vào tiêu điểm F₂(10; 0) (F₂ ∈ d).

Từ đây dễ dàng lập được phương trình của d là y = –x + 10.

Tọa độ của M ∈ (H) là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}y=-x+10\\ \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=-x+10\\ 16x^2-9y^2-576=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=-x+10\\ 16x^2-9{\left(10-x\right)}^2-576=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=-x+10\\ 16x^2-9\left(100-20x+x^2\right)-576=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=-x+10\\ 7x^2+180x-1476=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x\approx -32,25\\ y\approx 42,25\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\approx 6,54\\ y\approx 3,46\end{array}\right.\end{array}\right.$

Do điểm cần tìm nằm ở nhánh bên phải nên ta có M(6,54; 3,55).