Giải phương trình: căn (x^2 + x + 1)

Đề bài: Giải phương trình:

$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

ĐK: x² + x + 1 ≥ 0 và x – x² + 1 ≥ 0.

Nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si mỗi hạng số vế trái ta được:

$\sqrt{(x^2+x+1).1}\le \frac{x^2+x-1+1}{2}=\frac{x^2+x}{2}$ (1)

$\sqrt{(x-x^2+1).1}\le \frac{x-x^2+1+1}{2}=\frac{-x^2+x+2}{2}$ (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:

$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x-x^2+1}\le \frac{x^2+x}{2}+\frac{-x^2+x+2}{2}=x+1$

Nên theo đề ta có: x² – x + 2 ≤ x + 1 $\Rightarrow$ (x – 1)² ≤ 0.

Đẳng thức xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1.

Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.