a) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x-6\right)<-3\iff 2x-6>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$  (do $0<\frac{1}{2}<1)$

                              ⇔ 2x – 6 > 8 ⇔ x > 7.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (7; +∞).

b) log₃ (x² – 2x + 2) > 0

⇔ x² – 2x + 2 > 3⁰ ⇔ x² – 2x + 2 > 1

⇔ x² – 2x + 1 > 0 ⇔ (x – 1)² > 0 ⇔ x ≠ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ℝ \ {1}.

c) ${\log }_4\left(2x^2+3x\right)\ge \frac{1}{2}\iff 2x^2+3x\ge 4^{\frac{1}{2}}$

$\iff 2x^2+3x-2\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\le -2\\ x\ge \frac{1}{2}\end{array}\right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ;-2\right]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right).$

d) log_0,5 (x – 1) ≥ log_0,5 (5 – 2x)

⇔ 0 < x – 1 ≤ 5 – 2x (Vì 0 < 0,5 < 1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-1\le 5-2x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ 3x\le 6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x\le 2\end{array}\right.\iff 1<x\le 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1 ; 2].

e) log(x² + 1) ≤ log(x + 3)

⇔ 0 < x² + 1 ≤ x + 3

⇔ x² – x – 2 ≤ 0 (do x² + 1 > 0 với mọi x)

⇔ –1 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [–1; 2].

g) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(x^2-6x+8\right)+{\log }_5\left(x-4\right)>0$

$\iff {\log }_{5^{-1}}\left(x^2-6x+8\right)+{\log }_5\left(x-4\right)>0$

⇔ – log₅ (x² – 6x + 8) + log₅ (x – 4) > 0

⇔ log₅ (x² – 6x + 8) < log₅ (x – 4)

⇔ 0 < x² – 6x + 8 < x – 4

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2–6x+8>0\\ x^2–6x+8<x-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x>4\\ x<2\end{array}\right.\\ x^2-7x+12<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x>4\\ x<2\end{array}\right.\\ 3<x<4\end{array}\right.\iff x\in \varnothing .$

Vậy bất phương trình vô nghiệm.