Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}-\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}$  bằng

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D= [ -1,3]

Đặt $t=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}\Rightarrow t^2=4-2\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\Rightarrow \sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=\frac{4-t^2}{2}$

Do $t^2=4-2\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\le 4,\forall x\in \left[-1;3\right]$ , từ đó suy ra $-2\le t\le 2$

Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(t\right)=\frac{t^2}{2}+t-2$  trên đoạn $\left[-2;2\right]$ .

Ta có $g^{\text{'}}\left(t\right)=t+1=0\iff t=-1\in \left(-2;2\right)$

Lại có $g\left(-2\right)=-2;g\left(2\right)=2;g\left(-1\right)=\frac{-5}{2}$

Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-5}{2}$

Chọn A