Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x,m\right)=\left|x^2-4x-7\right|+mx$  đạt giá trị lớn nhất bằng

Hướng dẫn giải

Phương trình $x^2-4x-7=0$  luôn có hai nghiệm trái dấu $x_1<0<x_2$

Trường hợp 1: Nếu $m\ge 0$

Ta có $\min f\left(x,m\right)\le f\left(x,m\right)=m{x}_1\le 0,\forall m\in ℝ$

Xét $m=0$  ta có $f\left(x,0\right)=\left|x^2-4x-7\right|\ge 0,\forall x\in ℝ$ . Dấu bằng xảy ra tại $x=x_{1,2}$ .

Suy ra $\min f\left(x,0\right)=0,\forall x\in ℝ$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}\min f\left(x,m\right)\le 0,\forall m\in ℝ\\ \min f\left(x,0\right)=0,\forall x\in ℝ\end{array}\right.\Rightarrow \max \left(\min f\left(x,m\right)\right)=0$  khi $m=0$

Trường hợp 2: Nếu $m<0$

Ta có $\min f\left(x,m\right)\le f\left(x_2,m\right)=m{x}_2<0,\forall m\in ℝ\Rightarrow \max \left(\min f\left(x,m\right)\right)<0$

So sánh cả hai trường hợp thì $\max \left(\min f\left(x,m\right)\right)=0$  khi $m=0$

Chọn C