Giả sử Đ_a là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.

⦁ Ta có A’ là ảnh của A qua Đa.

Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ A’(xA; –yA).

Tương tự như vậy, ta được tọa độ B’(xB; –yB).

Vậy tọa độ A’(xA; –yA) và B’(xB; –yB).

⦁ Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.

Suy ra $AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Ta lại có $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\left(x_B-x_A;-y_B+y_A\right)$.

Suy ra $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(-y_B+y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Vậy A’B’ = AB.