Hai đường thẳng $\left(d\right)$  và $\left(d^{\text{'}}\right)$  cắt nhau khi và chỉ khi $m+1\ne \frac{-3}{2}m\ne \frac{-5}{2}$

Hoành độ giao điểm M của $\left(d\right)$  và $\left(d^{\text{'}}\right)$  là nghiệm của phương trình $\left(m+1\right)x+3=\frac{-3}{2}x+3\iff x=0$

Mà $y=\frac{-3}{2}x+3\Rightarrow y=3$

d cắt d' tại điểm $M(0;3)$

N là giao điểm của d' với trục Ox  nên $N\left(\frac{-3}{m+1};0\right)$

P là giao điểm của d' với trục Ox  nên $P\left(2;0\right)$

Suy ra $ON=\frac{3}{\left|m+1\right|};OP=2$

Ta có $S_{OMP}=2S_{OM\text{N}}\iff \frac{1}{2}OM.OP=2.\frac{1}{2}.OM.ON\iff OP=2ON$

$\Rightarrow 2=2\cdot \frac{3}{\left|m+1\right|}\iff \left|m+1\right|=3\iff \left[\begin{array}{l}m+1=3\\ m+1=-3\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-4\end{array}(\text{TM}\right.\right.)$

Vậy $m\in \{2;-4\}$ .