Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x^3 - 8x^2 + (m^2 + 11)x - 2m^2 + 2

Đề bài: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^3-8x^2+(m^2+11)x-2m^2+2$  có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox.

Trả lời

Hướng dẫn giải: 

Đồ thị hàm số $y=x^3-8x^2+(m^2+11)x-2m^2+2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(C\right)$ có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của Ox

$\iff \left(C\right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

$\iff x^3-8x^2+(m^2+11)x-2m^2+2\text{}=0(*)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: $(*)\iff (x-2)(x^2-6x+m^2-1\text{}=0$

                $\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x^2-6x+m^2-1=0\left(1\right)\end{array}\right.$

Để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=10-m^2>0\\ 2^2-6.2+m^2-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-\sqrt{10}<m<\sqrt{10}\\ m\ne \pm 3\end{array}\right..$

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên.