Chứng minh với a, b, c ∈ ℝ ta có: (a + b + c)^2. (ab + bc + ca)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)^3

Đề bài: Chứng minh với a, b, c ∈ ℝ ta có:

(a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3(ab + bc + ca)³

Trả lời

Lời giải:

Áp dúng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a² + b² ≥ 2ab;

b² + c² ≥ 2bc;

c² + a² ≥ 2ca.

Cộng vế với vế ta có:

2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (*)

Mặt khác (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.

Từ  (*) suy ra: (a + b + c)² ≥ 3 (ab + bc + ca)

⇔ (a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3 (ab + bc + ca). (ab + bc + ca)²

⇔ (a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3(ab + bc + ca)³ (đpcm).