Chứng minh P(n) = n^4 – 14n^3 + 71n^2 – 154n + 120 chia hết cho 24

Đề bài: Chứng minh P(n) = n⁴ – 14n³ + 71n² – 154n + 120 chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n khác 0.

Trả lời

Lời giải:

P(n) chia hết cho 24 hay P(n) chia hết cho 2; 3 và 4.

Ta có:

n⁴ – 14n³ + 71n² – 154n + 120

= n⁴ – 2n³ – 12n³ + 24n² + 47n² – 94n – 60n + 120

= n³(n – 2) – 12n²(n – 2) + 47n(n – 2) – 60(n – 2)

= (n – 2)(n³ – 3n² – 9n² + 27n + 20n – 60)

= (n – 2)[n²(n – 3) – 9n(n – 3) + 20(n – 3)]

= (n – 2)(n – 3)(n² – 4n – 5n + 20)

= (n – 2(n – 3)[n(n – 4) – 5(n – 4)]

= (n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)

Đây là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên : Chắc chắn sẽ có 1 số chia hết cho 2; 3 và 4.

Suy ra P(n) chia hết cho 2; 3 và 4 hay P(n) chia hết cho 24 ( đpcm).