bằng 

Hướng dẫn giải

Với a, b dương thỏa mãn $ab\ge 1$  ta có bất đẳng thức $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ .

Thật vậy $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\iff {\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\left(\sqrt{ab}-1\right)\ge 0$  đúng do $ab\ge 1$ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.

Áp dụng bất đẳng thức trên $P=\frac{1}{10-\frac{x}{y}}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\right)\ge \frac{1}{10-\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$ .

Đặt $\sqrt{\frac{x}{y}}=t\in \left[1;3\right]$ . Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{1}{10-t^2}+\frac{1}{1+t}$  trên đoạn $\left[1;3\right]$ .

$f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{2t}{{(10-t^2)}^2}-\frac{1}{{(1+t)}^2};f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t^4-2t^3-24t^2-2t+100=0$.

 $\iff (t-2)(t^3-24t-50)=0\iff t=2$do $t^3-24t-50<0,\forall t\in \left[1;3\right]$ .

Bảng biến thiên

Chọn C.