Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${(x-3)}^2+{(y-1)}^2=5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{3y^2+4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}$  bằng

Hướng dẫn giải

${(x-3)}^2+{(y-1)}^2=5\Rightarrow x^2+y^2-6x-2y+5=0.$

$\begin{array}{l}P=\frac{(3y^2+4xy+7x+4y-1)+(x^2+y^2-6x-2y+5)}{x+2y+1}\\ =\frac{4y^2+4xy+x^2+x+2y+4}{x+2y+1}=\frac{{(2y+x)}^2+(x+2y)+4}{x+2y+1}\end{array}$

Đặt $t=x+2y.$

$(1^2+2^2)\left[{(x-3)}^2+{(y-1)}^2\right]\ge {\left[(x-3)+(2y-2)\right]}^2$

$\Rightarrow {(x+2y-5)}^2\le 25\iff 0\le x+2y\le 10.$

Ta được $P=f\left(t\right)=\frac{t^2+t+4}{t+1}=t+\frac{4}{t+1},0\le t\le 10.$

Xét $f^{\text{'}}\left(t\right)=1-\frac{4}{{(t+1)}^2}=0\Rightarrow {(t+1)}^2=4\Rightarrow \left[\begin{array}{l}t=1\in (0;10)\\ t=-3\notin (0;10)\end{array}\right.$

Vì $f\left(0\right)=4;f\left(10\right)=\frac{114}{11};f\left(1\right)=3\Rightarrow \min P=3$  khi $t=1$ . Chọn A.