Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều ABCD.

Trả lời

Gọi I là trọng tâm tam giác BCD.

Tam giác BCD đều cạnh bằng 4 nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD và $BM=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BI=\frac{2}{3}BM=\frac{4\sqrt{3}}{3}\\ r=IM=\frac{1}{3}BM=\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.\text{. }$

Vì AI là đường cao của tứ diện đều ABCD nên $AI=\sqrt{A{B}^2-I{B}^2}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\text{. }$

Vậy diện tích xung quanh hình trụ $S_{xq}=2\pi rh=\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi .$

Chọn D