Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Do ∆ABC là tam giác vuông tại A nên:

$$\begin{gathered} S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\Rightarrow AH.BC=AB.AC \\ \iff AH=\frac{AB.AC}{BC}\iff \frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB.AC} \\ \iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{B{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2} \end{gathered}$$

Mặt khác theo định lý Pytago thì:

BC² = AB² + AC²

$\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$.

Do đó ta có đpcm.