Cho phân thức đại số \(P = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 4}}\).

a) Tìm điều kiện xác định của phân thức.

b) Rút gọn phân thức đã cho.

c) Sử dụng kết quả câu b), tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của phân thức P đã cho là số nguyên.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của phân thức P là: x² – 4 ≠ 0, hay x² ≠ 4, tức là x ≠ ± 2.

b) Với điều kiện xác định trên, ta có:

\(P = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 2} \right) + 4}}{{x - 2}} = x + \frac{4}{{x - 2}}\).

c) Ta có: \(P = x + \frac{4}{{x - 2}}\)

Vì x nguyên, để P có giá trị nguyên thì \(\frac{4}{{x - 2}}\) phải có giá trị là số nguyên. Khi đó, x – 2 là ước nguyên của 4. Do đó, x – 2 ∈ {±1; ±2; ±4}.

Ta có bảng sau:

Kết hợp với điều kiện của x ta thấy x = – 2 không thỏa mãn, với các giá trị còn lại của x, thay vào P ta thấy đều thỏa mãn.

Vậy x ∈ {3; 1; 4; 0; 6}.