Cho (P): y = x^2 và điểm A(3; 0), M thuộc (P). AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng A. căn bậc hai của 3 B. căn bậc hai của 5 C. 2 D. 3
34
26/04/2024
Cho \[(P):\,\,y = {x^2}\] và điểm \[A(3;\,\,0),\,\,M \in (P)\]. \[AM\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng
A. \[\sqrt 3 \].
B. \[\sqrt 5 \].
C. \[2\].
D. \[3\].
Trả lời
Lời giải
Gọi \[M(m;\,\,{m^2})\, \in \,(P)\].
Ta có
\[\begin{array}{l}AM = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {m^4}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{m^2} - 6m + 9 + {m^4}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{m^4} - 2{m^2} + 1 + 3{m^2} - 6m + 3 + 5} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{({m^2} - 1)}^2} + 3{{(m - 1)}^2} + 5} \, \ge \sqrt 5 .\end{array}\]
Dấu xảy ra khi \[m = 1\].
Vậy \[AM\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\sqrt 5 \] khi \[M(1;\,\,1)\].
