Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 6 tổ hợp chập (n-1) của (n+1)

Đề bài: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện ${\text{6C}}_{\text{n+1}}^{\text{n-1}}{\text{ = A}}_{\text{n}}^{\text{2}}\text{ + 160.}$  Tìm hệ số của x⁷ trong khai triển $\left({\text{1 - 2x}}^{\text{3}}\right){\left(\text{2 + x}\right)}^{\text{n}}$

A. -2224

B. 2224

C. 1996

D. -1996

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $\text{n}\ge \text{2}$

Từ giả thiết, ta có:

$\begin{array}{l}{\text{6C}}_{\text{n+1}}^{\text{n-1}}{\text{ = A}}_{\text{n}}^{\text{2}}\text{ + 160}\\ \iff \text{6.}\frac{\left(\text{n+1}\right)\text{!}}{\left(\text{n-1}\right)\text{!.2!}}\text{ = }\frac{\text{n!}}{\left(\text{n-2}\right)\text{!}}\text{ + 160}\\ \iff \text{3n}\left(\text{n + 1}\right)\text{ = n}\left(\text{n - 1}\right)\text{ + 160}\\ \iff {\text{2n}}^{\text{2}}\text{ + 4n - 160 = 0}\end{array}$

$\iff \text{n = 8}$ (vì điều kiện $n\ge 2$ )

Khi đó, ta được khai triển $\left({\text{1 - 2x}}^{\text{3}}\right){\left(\text{2 + x}\right)}^{\text{8}}\text{= }{\left(\text{2 + x}\right)}^{\text{8}}{\text{ - 2x}}^{\text{3}}{\left(\text{2 + x}\right)}^{\text{8}}$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

${\left(\text{2 + x}\right)}^{\text{8}}\text{=}\sum _{k=0}^8{\text{C}}_{\text{8}}^{\text{k}}{\text{.2}}^{\text{8-k}}{\text{.x}}^{\text{k}}$

Suy ra hệ số của x⁷ ứng với $k+3=7\iff k=4$

Hệ số của x⁷ trong khai triển ${\text{x}}^{\text{3}}{\left(\text{2+x}\right)}^{\text{8}}$ là ${\text{2}}^{\text{4}}{\text{.C}}_{\text{8}}^{\text{4}}$

Vậy hệ số cần tìm là ${\text{2.C}}_{\text{8}}^{\text{7}}{\text{ - 2.2}}^{\text{4}}{\text{.C}}_{\text{8}}^{\text{4}}\text{ = -2224}$ .