Cho mặt cầu bán kính R = 5cm.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8$\mathrm{\pi }$cm. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc $\left(S\right) \left(D\notin \left(C\right)\right)$ và tam giác ABC đều. Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng

Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P). Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng 8$\mathrm{\pi }$cm.

Suy ra bán kính đường tròn $R=\frac{8\pi }{2\pi }=4\left(cm\right).$

Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng $4\sqrt{3}\left(cm\right)$

Suy ra $S_{\Delta ABC}=\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}\left(c{m}^2\right)$ không đổi 

Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất khi $d\left(D,\left(ABC\right)\right)$ lớn nhất <=> D và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng

$\begin{array}{l}\iff DH=DO+OH=DO+\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}\\ =5+\sqrt{25-16}=8.\end{array}$

Khi đó $V_{\max }=\frac{1}{3}.12\sqrt{3}.8=32\sqrt{3}\left(c{m}^3\right).$