Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều

Đề bài: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi $V_1$,$V_2$  lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ 

Trả lời

Hướng dẫn giải:  

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1. Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB.

Gọi I là trọng tâm của tam giác đều SAB, khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là: $R=SI=\frac{2}{3}SO=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là: $r=IO=\frac{1}{3}SO=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là: $V_1=\frac{4}{3}\text{π}{R}^3=\frac{4\sqrt{3}}{27}\text{π}.$

Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là: $V_2=\frac{4}{3}\text{π}{r}^3=\frac{\sqrt{3}}{54}\text{π}.$

Vậy $\frac{V_1}{V_2}=8.$