Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy một góc 30^0 và tam giác A'BC có diện tích bằng a^2 căn bậc hai của 3. Thể tích khố
71
25/04/2024
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BC = a\), mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) tạo với đáy một góc \({30^ \circ }\) và tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \({a^2}\sqrt 3 \). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
B. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
C. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
D. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Trả lời
Lời giải
Chọn B
Ta có \(BC \bot AB\) và \(BC \bot BB'\) nên \(BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\), suy ra \(BC \bot A'B\) hay tam giác \(A'BC\) là tam giác vuông tại \(B\).
Khi đó ta cũng có \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'BC} \right)} \right) = \widehat {A'BA} = {30^ \circ }\).
Lại có \({S_{\Delta A'BC}} = \frac{1}{2}A'B.BC = {a^2}\sqrt 3 \), suy ra \(A'B = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{a} = 2a\sqrt 3 \).
Tam giác \(A'AB\) có \(\sin {30^ \circ } = \frac{{A'A}}{{A'B}},\cos {30^ \circ } = \frac{{AB}}{{A'B}}\), suy ra \(A'A = a\sqrt 3 ,AB = 3a\).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.3a.a = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
