Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a.  Hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (A'B'C') là trọng tâm G của tam giác A'B'C'. Biết AA' hợp với (A'B'C') một góc  ${60}^{\text{o}},$ tính theo a thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.$

Ta có: $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}.$ Theo giả thiết: $AG\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\Rightarrow \left(A{A}^{\text{'}};\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\right)=\widehat{A{A}^{\text{'}}G}={60}^0.$
Xét tam giác $A{A}^{\text{'}}G$ vuông tại $G:\tan \widehat{A{A}^{\text{'}}G}=\frac{AG}{A^{\text{'}}G}\Rightarrow AG=A^{\text{'}}G\tan \widehat{A{A}^{\text{'}}G}=\frac{2}{3}{A}^{\text{'}}M\tan {60}^0=a.$
Suy ra: $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=AG.S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4}.$