Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường thẳng DB1 tạo với mặt phẳng ( BCC1B1) góc (30^0). Tính thể tích khối hộp ABCD.A1B1C1D1 A. a^3 căn bậc hai của 3 B.
44
30/04/2024
Cho hình hộp đứng \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), đường thẳng \(D{B_1}\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)\) góc \(30^\circ \). Tính thể tích khối hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
A. \({a^3}\sqrt 3 \).
B. \({a^3}\sqrt 2 \).
C. \({a^3}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Trả lời
Lời giải
Chọn B
Ta có \(DC \bot \left( {BC{C_1}{B_1}} \right)\) suy ra hình chiếu của \(D{B_1}\) lên \(\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)\) là \(C{B_1}\)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {D{B_1},\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)} \right)} = \widehat {\left( {D{B_1},C{B_1}} \right)} = \widehat {D{B_1}C} = 30^\circ \)
Xét \(\Delta D{B_1}C\) vuông ở \(C\) có \(\tan \widehat {D{B_1}C} = \frac{{DC}}{{{B_1}C}} \Leftrightarrow \tan 30^\circ = \frac{a}{{{B_1}C}} \Rightarrow {B_1}C = a\sqrt 3 \)
Xét \(\Delta {B_1}BC\) vuông ở \(B\) có \(B{B_1} = \sqrt {{B_1}{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Thể tích khối hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là \(V = B{B_1}.{S_{ABCD}} = a\sqrt 2 .{a^2} = {a^3}\sqrt 2 \).
