Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a

Đề bài: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a. Biết $\widehat{BAD}={60}^0,\widehat{A^{\text{'}}AB}=\widehat{A^{\text{'}}AD}={120}^0.$  Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'a

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có các tam giác ABD, A'AD, A'AB là các tam giác đều.

Suy ra ta có: $A^{\text{'}}A=A^{\text{'}}B=A^{\text{'}}D$  nên H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD.

Do đó: $AH=\frac{2}{3}.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}a$

$\Rightarrow A^{\text{'}}H=\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2-A{H}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a.$

Vậy thể tích của khối hộp là:

$V=A^{\text{'}}H.S_{ABCD}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a\mathrm{.2.}\frac{4a^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{2}{a}^3.$