Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng 1 . Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm đối xứng của A qua D

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng 1 . Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm đối xứng của A qua D. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh S. Thể tích khối (H) bằng

A. $\frac{4}{7}$

B. $\frac{3}{7}$

C. $\frac{5}{12}$

D. $\frac{7}{12}$

Trả lời

+ Trong mp $\left(SAD\right);MN\cap SD=E$, trong $\text{mp}\left(ABCD\right);BN\cap CD=F$. Khi đó thiết diện của mặt phẳng $\left(BMN\right)$ với hình chóp S.ABCD là tứ giác BMEF

+ Ta có E là trọng tâm tam giác SAN nên $NE=\frac{2}{3}NM$; F là trung điểm của BN

$\frac{V_{NEFD}}{V_{NMBA}}=\frac{NE}{NM}\cdot \frac{NF}{NB}\cdot \frac{ND}{NA}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{V_{NEFD}}{V_{DEFAMB}}=\frac{1}{5}\Rightarrow V_{DEFAMB}=5V_{NEFD}$

$\frac{V_{NEFD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{d_{(E,(NDF\left)\right)}\cdot S_{NDF}}{d_{(S,(ABCD)}\cdot S_{ABCD}}=\frac{ED}{SD}\cdot \frac{\frac{1}{2}\cdot DN\cdot DF}{A{D}^2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}\Rightarrow V_{NEFD}=\frac{1}{12}{V}_{S.ABCD}=\frac{1}{12}{V}_{DEFAMB}$

$=5V_{NEFD}=\frac{5}{12}\Rightarrow V_H=V_{S\cdot ABCD}-V_{DEFAMB}=\frac{7}{12}.$

Chọn D