a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác SBC, do đó MN // SC. Mà MN ⊂ (MNP).

Từ đó suy ra SC // (MNP).

b) Gọi Q là trung điểm của SD, mà P là trung điểm của CD nên PQ là đường trung bình của tam giác SCD nên SC // QP.

Hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) có điểm P chung và MN // SC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) là đường thẳng QP. Đồng thời, Q là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).

c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I là giao điểm của AC và NP.

Trong mặt phẳng (SAC), lấy E thuộc SA sao cho IE // SC.

Khi đó, ta có I ∈ (MNP) và IE // MN nên E ∈ (MNP).

Vậy E là giao điểm của SA với mặt phẳng (MNP).

d) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Ta có NP là đường trung bình của tam giác BCD nên NP // BD hay NI // BO.

Trong tam giác BOC có NI // BO và N là trung điểm của BC nên NI là đường trung bình của tam giác BOC, suy ra I là trung điểm của OC. Khi đó $\frac{CI}{CO}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{CI}{CA}=\frac{1}{4}$.

Xét tam giác SAC, ta có IE // SC nên $\frac{SE}{SA}=\frac{CI}{CA}=\frac{1}{4}$.