Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với ( ABCD)

Trả lời

Gọi N là trung điểm của $AB\Rightarrow DN//BM\Rightarrow BM//\left(SDN\right)$

$\Rightarrow d(SD;BM)=d(BM;(SDN\left)\right)=d(B;(SDN\left)\right)=d(A;(SDN\left)\right)$

Từ A dựng $AH\perp DN$ mà $DN\perp SA(SA\perp (ABCD\left)\right)$

$\Rightarrow DN\perp \left(SAH\right)\text{ mà }DN\subset \left(SDN\right)\Rightarrow \left(SDN\right)\perp \left(SAH\right)$

Ta có: $\left(SDN\right)\cap \left(SAH\right)=SH$

Từ A dựng $AI\perp SH\Rightarrow AI\perp \left(SDN\right)\Rightarrow d(A;(SDN\left)\right)=AI$

Khi đó:

$\frac{1}{A{I}^2}=\frac{1}{A{N}^2}+\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{S{A}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(2a\right)}^2}+\frac{1}{{\left(a\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{20}{29a^2}\Rightarrow AI=\frac{2\sqrt{145}}{29}a.$

Vậy $d(SD;BM)=\frac{2\sqrt{145}}{29}a$.

Vậy $\frac{m}{n}=\frac{4.145}{29}=20$.