Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB= 2a, AD = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng ${45}^{°}$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là $\frac{a\sqrt{p}}{q}$. Tính p - q.