Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 8, BC = 6. Biết SA = 6 và SA vuông góc với mp(ABC). Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính của hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

Khi đó 

$\begin{array}{l}{V}_{S.ABC}=V_{I.ABC}+V_{I.SBC}+V_{I.SAB}+V_{I.SAC}=\frac{1}{3}r\left(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SBC}+S_{\Delta SAC}\right)=\frac{r.S_{TP}}{3}\\ \Rightarrow r=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{TP}}.\\ V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\mathrm{.6.}\frac{1}{2}\mathrm{.8.6}=48;\\ S_{\Delta ABC}=S_{\Delta SAB}=24;S_{\Delta SBC}=S_{\Delta SAC}=30\Rightarrow S_{TP}=108.\end{array}$

Vậy $r=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{TP}}=\frac{3.48}{108}=\frac{4}{3}\Rightarrow V_{mc}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{256}{81}\pi .$