Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

Đề bài: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi φ là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD). Tính cot φ?

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó ta có $SH\perp AB\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$  nên hình chiếu của SD trên (ABCD) là HD.

Do đó $\widehat{SD,\left(ABCD\right)}=\widehat{SD,HD}=\widehat{SDH}.$

Mặt khác tam giác SAB đều cạnh a nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra $HD=\sqrt{A{H}^2+A{B}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Khi đó xét tam giác vuông SHD, ta có: $\cot \widehat{SHD}=\frac{DH}{SH}=\frac{5}{\sqrt{15}}.$