Cho hàm số $y=\frac{\left|{\sin }^{2}x-\left(m+1\right)\sin x+2m+2\right|}{\sin x-2}$  (với m là tham số thực).

Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng

Hướng dẫn giải

Xét $f\left(x\right)=\frac{{\sin }^{2}x-\sin x+2}{\sin x-2}$

Đặt $t=\sin x\Rightarrow -1\le t\le 1$ , ta được $f\left(t\right)=\frac{t^2-t+2}{t-2}$  với $t\in \left[-1;1\right]$

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{t^2-4t}{{\left(t-2\right)}^2}=0\Rightarrow t^2-4t=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}t=0\in \left(-1;1\right)\\ t=4\notin \left(-1;1\right)\end{array}\right.$

Vì $f\left(-1\right)=\frac{-4}{3};f\left(1\right)=-2;f\left(0\right)=-1$  nên $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(t\right)=-1$  và $\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(t\right)=-2$

Hay $-2\le \frac{{\sin }^{2}x-\sin x+2}{\sin x-2}\le -1,\forall x$

Mặt khác $y=\left|\frac{{\sin }^{2}x-\sin x+2}{\sin x-2}-m\right|=\left|f\left(x\right)-m\right|,\forall -2\le f\left(x\right)\le -1$

Do đó $\underset{ℝ}{\max }y=\underset{\left[-2;-1\right]}{\max }\left|f\left(x\right)-m\right|=\max \left\{\left|m+2\right|,\left|m+1\right|\right\}=\max \left\{\left|m+2\right|,\left|-m-1\right|\right\}$

$\Rightarrow \max y\ge \frac{\left|m+2\right|+\left|-m-1\right|}{2}\ge \frac{\left|\left(m+2\right)+\left(-m-1\right)\right|}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu bằng đạt được khi $\left\{\begin{array}{l}\left|m+2\right|=\left|-m-1\right|\\ \left(m+2\right)\left(-m-1\right)\ge 0\end{array}\right.\iff m=-\frac{3}{2}$

Chọn A