Cho hàm số y = mx^4 + (m + 1)x^2 + m^2 - 5. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị. A. m ( 0;1). B. m [ - 1;0] C. m ( - 1;0). D. m ( - vô cùng ; - 1) ( 0; + vô cùng).
33
03/05/2024
Cho hàm số \(y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + {m^2} - 5.\)Tìm \(m\) để hàm số có ba điểm cực trị.
A. \(m \in \left( {0;1} \right)\).
B. \(m \in \left[ { - 1;0} \right]\).
C. \(m \in \left( { - 1;0} \right)\).
D. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Trả lời
Lời giải
Chọn C
Hàm số \(y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + {m^2} - 5\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\,.\)
\(y' = 4m{x^3} + 2(m + 1)x = 2x(2m{x^2} + m + 1)\).
Hàm số \(y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + {m^2} - 5\) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt và \(y'\) đổi dấu khi đi qua ba nghiệm đó.
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2m{x^2} + m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2m{x^2} = - (m + 1)\end{array} \right.\).
\(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - \frac{{m + 1}}{{2m}} > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 0\) (khi đó \(y'\) đổi dấu khi đi qua ba nghiệm).
Vậy\[\,\,m \in \left( { - 1;0} \right)\] nên ta chọn phương án
