Cho hàm số y = mx4 + m-1 x2 + 1 - 2m, biết tập tất cả các giá trị của m để hàm số chỉ có một điểm cực trị có dạng âm vô cùng đến a hợp với b đến dương vô cùng. Tính a + b.

Trả lời

Ta có ${\text{y}}^{\text{'}}=4{\text{mx}}^3+2( \text{m}-1)\text{x}$ và ${\text{y}}^{\text{'}}=0\iff \text{x}=0$ hoặc $2{\text{mx}}^2+\text{m}-1=0$ (*)

Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' = 0 có một nghiệm duy nhất và yˊ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó. Khi đó phương trình $2m{x}^2+m-1=0$ (*) vô nghiệm hay có nghiệm kép

$\text{x}=0\iff \left[\begin{array}{l}\text{m}=0\\ \left\{\begin{array}{l}\text{m}\ne 0\\ {\Delta }^{\text{'}}=-2 \text{m}( \text{m}-1)\le 0\end{array}\right.\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\text{m}=0\\ \text{m}<0\vee \text{m}\ge 1\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\text{m}\le 0\\ \text{m}\ge 1\end{array}\right.\right.\right.$.