Cho hàm số y = f( x ) xác định trên R và có đạo hàm f'( x ) thỏa mãn f'( x ) = ( 1 - x)( x + 2).g( x ) + 2018 trong đó g( x ) < 0, x thuộc R. Hàm số y = f( 1 - x) + 2018x + 2019 nghịch biến
36
03/05/2024
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \[f'\left( x \right)\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right).g\left( x \right) + 2018\] trong đó \(g\left( x \right) < 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \[y = f\left( {1 - x} \right) + 2018x + 2019\] nghịch biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - \infty \,;3} \right)\).
B. \(\left( {1\,; + \infty } \right)\).
C. \(\left( {3\,; + \infty } \right)\).
D. \(\left( {0\,;3} \right)\).
Trả lời
Lời giải
Chọn C
Đặt \(h\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right) + 2018x + 2019\).
Ta có: \(h'\left( x \right) = - f'\left( {1 - x} \right) + 2018\).
Ta lại có:
\(f'\left( {1 - x} \right) = \left[ {1 - \left( {1 - x} \right)} \right]\left( {1 - x + 2} \right).g\left( {1 - x} \right) + 2018 = x.\left( {3 - x} \right).g\left( {1 - x} \right) + 2018\).
Suy ra \(h'\left( x \right) = x\left( {x - 3} \right).g\left( {1 - x} \right)\).
Vì \(g\left( x \right) < 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(g\left( {1 - x} \right) < 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó \(h'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.\).
Do đó hàm số \(y = h\left( x \right)\) nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty \,;0} \right)\), \(\left( {3\,; + \infty } \right)\).
