Cho hàm số y = ax + b/cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ac > 0,bd > 0 B. ab < 0,cd < 0 C. bc > 0,ad < 0 D. bc{0,a} 0
46
26/04/2024
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(ac > 0,bd > 0\).
B. \(ab < 0,cd < 0\).
C. \(bc > 0,ad < 0\).
D. \(bc\left\langle {0,ad} \right\rangle 0\).
Trả lời
Lời giải
Chọn C
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{d}{c}} \right\}\).
Do đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = - \frac{d}{c}\) nằm bên phải trục tung nên \( - \frac{d}{c} > 0 \Leftrightarrow cd < 0\). \(\left( 1 \right)\)
Do đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = \frac{a}{c}\) nằm phía trên trục hoành nên
\(\frac{a}{c} > 0 \Leftrightarrow ac > 0\). \(\left( 2 \right)\)
Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đạo hàm \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\).
Từ đồ thị, hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định suy ra \(ad - bc < 0\) hay \(ad < bc\) (loại đáp án D).
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\), điểm này nằm phía bên trái trục tung nên \( - \frac{b}{a}\left\langle {0 \Leftrightarrow ab} \right\rangle 0\) \(\left( 3 \right)\)(loại đáp án B).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{cd < 0}\\{ac > 0}\\{ab > 0}\end{array}} \right.\), suy ra \(a,b,c\) cùng dấu và \(d\) trái dấu với \(a,b,c\).
Khi đó \(bd < 0\) (loại đáp án A).
Kết luận: Chọn đáp án C: \(bc > 0,ad < 0\).
