Cho hàm số bậc năm y = f( x ) có đồ thị y = f'( x ) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g( x ) = f( x^3 + 3x^2) là A. 7 B. 6 C. 11 D. 4
35
04/05/2024
Cho hàm số bậc năm \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là
A. \(7\).
B. \(6\).
C. \(11\).
D. \(4\).
Trả lời
Lời giải
Chọn B
Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right).f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\).
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + 6x = 0}\\{f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\).
Phương trình
\(3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right..\)
Phương trình
\(f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 3{x^2} = a < 0}\\{{x^3} + 3{x^2} = 0}\\{{x^3} + 3{x^2} = 4}\\{{x^3} + 3{x^3} = b > 4}\end{array}} \right.\).
Ta thấy: \({x^3} + 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = - 3\)
Và \({x^3} + 3{x^2} = 4 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = - 2\).
Hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2}\) có \(h'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm \(h\left( x \right)\):
Dựa vào bảng biên thiên của hàm \(h\left( x \right)\), ta có
Phương trình \({x^3} + 3{x^2} = a < 0\) có duy nhất một nghiệm \({x_1} < - 3\).
Phương trình \({x^3} + 3{x^2} = b > 4\) có duy nhất một nghiệm \({x_2} > 1\).
Do đó, phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội ba nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 6 điểm cực trị.
