Cho f(x) là hàm số liên tục trên tập số thực R và thỏa mãn +f(x^2+3x+1) = x+ 2.

Cho f(x) là hàm số liên tục trên tập số thực R và thỏa mãn $+f\left(x^2+3x+1\right)=x+2$.

Tính $I={\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$.

 C. $\frac{529}{3}$                  

Trả lời

$+f\left(x^2+3x+1\right)=x+2$

+ Đặt $x^2+3x+1=t$, do $x^2+3x+1\ge -\frac{5}{4}$ nên $t\ge \frac{-5}{4}$. Khi đó:

$x^2+3x+1-t=0\Rightarrow \Delta =9-4(1-t)=5+4t\ge 0$ nên ta có $x=\frac{-3\pm \sqrt{4t+5}}{2}.$

$\Rightarrow f\left(t\right)=\frac{-3\pm \sqrt{4t+5}}{2}+2=\frac{1\pm \sqrt{4t+5}}{2}+{\int }_1^{5}f\left(x\right)dx={\int }_1^{5}f\left(t\right)dt={\int }_1^5\frac{1+\sqrt{4t+5}}{2}dt=\frac{61}{6}$

Hoặc ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx={\int }_1^{5}f\left(t\right)dt={\int }_1^5\frac{1-\sqrt{4t+5}}{2}dt=\frac{-37}{6}.$

+ Vậy $I={\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=\frac{61}{6}$