• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có M’ = f(M) và N’ = f(N).

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{M^{\text{'}}H}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{K{N}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

Ta có:

⦁ $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{KN}\right)+\left(\overrightarrow{M^{\text{'}}H}+\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{K{N}^{\text{'}}}\right)$

                      $=\left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{M^{\text{'}}H}\right)+\left(\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{K{N}^{\text{'}}}\right)+2\overrightarrow{HK}$

                      $=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{HK}$ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

                      $=2\overrightarrow{HK}$.

⦁ $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{HN}-\overrightarrow{HM}\right)-\left(\overrightarrow{H{N}^{\text{'}}}-\overrightarrow{H{M}^{\text{'}}}\right)$.

                      $=\overrightarrow{HN}-\overrightarrow{HM}-\overrightarrow{H{N}^{\text{'}}}+\overrightarrow{H{M}^{\text{'}}}$

                      $=\left(\overrightarrow{HN}-\overrightarrow{H{N}^{\text{'}}}\right)+\left(\overrightarrow{H{M}^{\text{'}}}-\overrightarrow{HM}\right)=\overrightarrow{N^{\text{'}}N}+\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$.

Khi đó ${\overrightarrow{MN}}^2-{\overrightarrow{M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}}^2=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}\right)\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}\right)$

                                  $=2\overrightarrow{HK}\left(\overrightarrow{N^{\text{'}}N}+\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}\right)$

                                  $=2\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{N^{\text{'}}N}+2\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=2.0+2.0=0$ 

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên $\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{HK};\overrightarrow{N{N}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{HK}$).

Suy ra ${\overrightarrow{MN}}^2={\overrightarrow{M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}}^2$.

Do đó MN = M’N’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.