Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M’ = h(M) sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’ (Hình 6), còn với M trùng với O thì ta chọn O = h(M). Chứng minh h là một phép dời hình.

⦁ Với hai điểm M, N khác O, ta đặt M’ = h(M) và N’ = h(N) với O là trung điểm của MM’ và O cũng là trung điểm của NN’.

Suy ra tứ giác MNM’N’ là hình bình hành.

Do đó MN = M’N’   (1)

⦁ Với M trùng O, ta có O = h(M).

Suy ra MO = 0   (2)

Từ (1), (2), ta thu được h là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy h là một phép dời hình.