Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|x^2+2x+m-4\right|$  trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng

Hướng dẫn giải

Đặt $f\left(x\right)=x^2+2x$

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+2;f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=-1\in \left[-2;1\right]$

$f\left(-2\right)=0;f\left(1\right)=3;f\left(-1\right)=-1$

Do đó $\underset{\left[-2;1\right]}{\max }f\left(x\right)=3;\underset{\left[-2;1\right]}{\min }f\left(x\right)=-1$

Suy ra $\underset{\left[-2;1\right]}{\max }y=\max \left\{\left|m-5\right|;\left|m-1\right|\right\}$

$\ge \frac{\left|m-5\right|+\left|m-1\right|}{2}\ge \frac{\left|5-m+m-1\right|}{2}=2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}\left|m-5\right|=\left|m-1\right|\\ \left(5-m\right)\left(m-1\right)\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow m=3$ (thỏa mãn)