Bạn Nam tham gia một trò chơi rút thăm trúng thưởng. Hộp đựng thăm có 50 lá thăm cứng với kích thước và khối lượng như nhau, trong đó có 20 lá trúng thưởng, 30 lá không trúng thưởng. Mỗi người được rút 2 lần (sau mỗi lần rút thì ghi kết quả và bỏ lại thăm vào hộp), mỗi lần 2 lá thăm. Nếu rút được 2 lá trúng thưởng thì được 1 tai nghe, nếu rút được 3 lá trúng thưởng thì được 1 tai nghe và 1 bàn phím, nếu rút được 4 lá trúng thưởng thì được 1 máy tính bảng. Tính xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 2 lá thăm từ 50 lá thăm cho ta một tổ hợp chập 2 của 50 phần tử và sau mỗi lần rút thì ghi kết quả và bỏ lại thăm vào hộp. Do đó, sau hai lần bốc thăm, số phần tử của không gian mẫu Ω là:  $n\left(\Omega \right)=C_{50}^2\cdot C_{50}^2.$

Xét biến cố A: “Bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe”.

Khi đó biến cố đối của A là  $\overline{A}$ :“ Bạn Nam không được trúng thưởng có tai nghe”.

Có 3 trường hợp có thể xảy ra của biến cố  $\overline{A}$:

+ Trường hợp 1: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, có 4 lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn:  $C_{20}^2\cdot C_{20}^2.$

+ Trường hợp 2: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, có 1 lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn:  $2!C_{30}^2\cdot C_{20}^1\cdot C_{30}^1.$

+ Trường hợp 3: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, không có lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn:  $C_{30}^2\cdot C_{30}^2.$

Suy ra:  $n\left(\overline{A}\right)=C_{20}^2\cdot C_{20}^2+2!C_{30}^2\cdot C_{20}^1\cdot C_{30}^1+C_{30}^2\cdot C_{30}^2=747325.$

Xác suất của biến cố  $\overline{A}$ là:  $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{747325}{C_{50}^2\cdot C_{50}^2}.$

Vậy xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe là:

 $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{747325}{C_{50}^2\cdot C_{50}^2}\approx 0,5.$

Chú ý: Đối với bài toán này, chúng ta có thể tính trực tiếp xác suất của biến cố A như sau:

Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A:

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

 $n\left(A\right)=C_{20}^1\cdot C_{30}^1\cdot C_{20}^1\cdot C_{30}^1+2C_{20}^2\cdot C_{20}^1+2C_{20}^2\cdot C_{20}^1\cdot C_{30}^1=753300.$

Vậy xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe là:

 $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{747325}{C_{50}^2\cdot C_{50}^2}\approx 0,5.$